Prima Sadewa

Di dalam matematika, sistem persamaan linier adalah kumpulan persamaan-persamaan linier
yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n
variabel dari m persamaan adalah sebagai berikut :

Pada contoh di atas, x1, x2, …, xn adalah variabel-variabel yang tidak diketahui nilainya, dan a11,
a12, …, amn adalah koefisien-koefisien dari sistem persamaan tersebut, sedangkan b1, b2, …, bm adalah
konstanta.
Contoh dari sistem persamaan linier dengan 3 variabel:
2x – 3y + z = -1
x + 2y – 3z = -4
3x – y + 2z = 7
Pada persamaan di atas, variabel-variabelnya adalah x, y, dan z. Kita dapat mengganti x1, x2, …,
xn dengan huruf-huruf lainnya untuk membedakan. Dalam contoh di atas, x1, x2, x3 diganti dengan x, y,
dan z secara berurutan.
Sebuah penyelesaian dari sistem persamaan linier adalah kumpulan n angka s1, s2, …, sn
sedemikian sehingga jika kita mensubsitusi x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn maka sistem persamaan tersebut
dapat dipenuhi.
Penyelesaian dari sistem persamaan linier pada contoh sebelumnya adalah :
x = 1
y = 2
4
z = 3
karena nilai-nilai tersebut membuat persamaan tersebut menjadi valid.
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, namun yang akan dibahas
secara lanjut di laporan ini adalah metode eliminasi Gauss-Jordan.
Eliminasi Gauss-Jordan
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah
metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati Carl
Friedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi
Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.
Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi
(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai pada
bentuk baris eselon (row echelon form).
Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat
pula digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.
Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah
1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks
A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi.
Contoh mengubah sistem persamaan linier menjadi matriks augmentasi.
→
Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisienkoefisien
dari sistem persamaan linier..
Sedangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :
1. Menukar posisi dari 2 baris.
Ai ↔ Aj
2. Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.
Ai = k * Aj
5
3. Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya.
Ai = Ai + k * Aj
Sebuah matriks sendiri bisa dikatakan sudah memiliki bentuk baris eselon yang tereduksi jika
telah memenuhi syarat-syarat berikut ini.
1. Jika sebuah baris seluruhnya bukan merupakan angka nol, maka angka bukan nol pertama
pada baris tersebut adalah 1 (leading 1).

2. Jika ada baris yang seluruhnya terdiri dari angka nol, maka baris tersebut dikelompokkan
di baris paling bawah dari matriks.
3. Jika ada 2 baris berurutan yang sama-sama tidak terdiri dari angka nol seluruhnya, maka
leading 1 dari baris yang lebih bawah berada di sebelah kanan dari leading 1 yang berada
di baris yang lebih atas.
4. Pada setiap kolom yang memiliki leading 1 di kolomnya, maka nilai yang ada di kolom
tersebut kecuali leading 1 adalah nol.
Sebuah matriks yang hanya memenuhi syarat 1 sampai 3 adalah matriks yang dalam bentuk baris
eselon. Sedangkan jika syarat keempat juga dipenuhi, maka matriks tersebut dapat dikatakan dalam
bentuk baris eselon yang tereduksi.
Berikut beberapa contoh matriks yang sudah dalam bentuk baris eselon tereduksi.
Berikut contoh langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
dengan metode eliminasi Gauss-Jordan.
Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut.
2x + 4y – 2z = 12
x + 5y + 3z = 8
-3x + y + 3z = -4

1. Ubah sistem persamaan linier di atas menjadi matriks augmentasi.
2 4 -2 12
1 5 3 8
-3 1 3 -4
2. Kalikan baris pertama dengan 0.5
1 2 -1 6
1 5 3 8
-3 1 3 -4
3. Tambahkan baris kedua dengan (-1) kali baris pertama
1 2 -1 6
0 3 4 2
-3 1 3 -4

4. Tambahkan baris ketiga dengan 3 kali baris pertama
1 2 -1 6
0 3 4 2
0 7 0 14


5. Kalikan baris kedua dengan 1/3
1 2 -1 6
0 1 0.33 0.67
0 7 0 14

6. Tambahkan baris pertama dengan (-2) kali baris kedua
1 0 -3.67 4.67
0 1 0.33 0.67
0 7 0 14

7. Tambahkan baris ketiga dengan (-7) kali baris kedua
1 0 -3.67 4.67
0 1 0.33 0.67
0 0 -9.33 9.33
8. Kalikan baris ketiga dengan -1/9.33
1 0 -3.67 4.67
0 1 0.33 0.67
0 0 1 -1

9. Menambahkan baris pertama dengan 3.67 kali baris ketiga
1 0 0 1
0 1 0.33 0.67
0 0 1 -1

10. Menambahkan baris kedua dengan (-0.33) kali baris ketiga
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 -1

Setelah langkah ke-10, maka matriks ini telah dalam bentuk baris eselon tereduksi. Dari matriks
terakhir ini dapat disimpulkan bahwa nilai x = 1, y = 2, dan z = -1.
Contoh di atas diterapkan pada sistem persamaan linier dengan n variabel dan n persamaan.
Contoh berikut adalah cara menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel dan m persamaan.
Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut.
2x + 3y – 5z = 7
x + 4y + 8z = 3



1. Ubah menjadi matriks teraugmentasi
2 3 -5 7
1 4 8 3

2. Kalikan baris pertama dengan ½
1 1.5 -2.5 3.5
1 4 8 3

3. Tambahkan baris kedua dengan (-1) kali baris pertama
1 1.5 -2.5 3.5
0 2.5 10.5 -0.5
4. Kalikan baris kedua dengan 1/2.5
1 1.5 -2.5 3.5
0 1 4.2 -0.2

5. Tambahkan baris pertama dengan (-1.5) kali baris kedua
1 0 -8.8 3.8
0 1 4.2 -0.2

Penyelesaian untuk persamaan di atas akan menjadi :
x – 8.8z = 3.8
y + 4.2z = -0.2


Ada 3 macam kemungkinan penyelesaian dari sistem persamaan linier, yaitu :
1. Solusi yang unik. Hanya ada satu himpunan nilai (s1, s2, …, sn) yang memenuhi sistem
persamaan linier tersebut.
2. Tidak ada solusi. Tidak ada himpunan nilai (s1, s2, …, sn) yang memenuhi sistempersamaan linier tersebut.
3. Solusi yang ada tidak berhingga. Ada lebih dari satu (tak berhingga) himpunan nilai
(s1, s2, …, sn) yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut.
B. Solusi SPAL secara numeris
Solusi SPAL secara numeris umumnya selalu (harus) lebih efisien  dan cepat dibandingkan dengan metode-metode analitis, seperti  metode Cramer. Namun demikian, solusi numerik ini secara teknis
adakalanya juga berkendala, karena: Seri Matematika Terapan untuk S2  Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI  Modul 2 – Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) (5/5)  ð ada beberapa persamaan yang  mendekati kombinasi linier,  akibat adanya “round off error” dari mesin penghitung pada  suatu tahap perhitungan  adanya akumulasi “round off error” pada proses komputasi akan  berakibat domain bilangan nyata (fixed point) dalam perhitungan akan terlampaui (overflow), biasanya akibat dari jumlah persamaan yang terlalu besar  Metode-metode solusi numerik yang banyak dipakai, dapat  diklasifikasikan sebagai:
a. Metode Langsung
Eliminasi Gauss (EGAUSS), prinsipnya: merupakan operasi  eliminasi dan substitusi variabel-variabelnya sedemikian  rupa sehingga dapat terbentuk  matriks segitiga atas, dan  akhirnya solusinya diselesaikan menggunakan teknik  substitusi balik (backsubstitution). Metode Eliminasi Gauss  ini secara ringkas dibahas pada Paragraf C.  Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ), prinsipnya: mirip sekali  dengan metode EG, namun dalam metode ini jumlah operasi  numerik yang dilakukan jauh lebih besar, karena matriks A  mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan  matriks identitas (I). Karena kendala tersebut, maka metode  ini sangat jarang dipakai, namun sangat bermanfaat untuk  menginversikan matriks. Metode ini tidak dibahas lebih  lanjut dalam pelajaran ini.  Dekomposisi LU (DECOLU), prinsipnya: melakukan  dekomposisi matriks  A terlebih dahulu sehingga dapat  terbentuk matriks-matrik segitiga atas dan bawah, kemudian  secara mudah dapat melakukan substitusi balik  (backsubstitution) untuk berbagai vektor VRK (vektor ruas  kanan). Metode ini secara lebih jelas akan dibahas pada  Paragraf F, khusus tentang metode-metode dekomposisi LU  dan teknik komputasinya. Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI  Modul 2 – Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) (6/6)
Solusi sistem TRIDIAGONAL (S3DIAG), prinsipnya  merupakan solusi SPAL dengan bentuk matrik pita (satu  diagonal bawah, satu diagonal utama, dan satu diagonal atas)  pada matriks A. Metode ini akan dibahas lebih lanjut pada  Paragraf K.
b. Metode Tak-Langsung (Metode Iteratif) Metode  Jacobi, prinsipnya: merupakan metode iteratif yang  melakuakn perbaharuan nilai  x yang diperoleh tiap iterasi  (mirip metode substitusi berurutan, successive substitution), Metode  Gauss-Seidel, prinsipnya:  mirip metode Jacobi,  namun melibatkan perhitungan implisit, Metode  Successive Over Relaxation (SOR), prinsipnya:  merupakan perbaikan secara langsung dari Metode GaussSeidel dengan cara menggunakan faktor relaksasi (faktor pembobot) pada setiap tahap/proses iterasi.  Metode-metode tak-langsung seperti di atas pada umunya  sangat tidak efisien dan ‘time consuming’ (memerlukan CPUtime) yang jauh lebih besar dari metode langsung. Metode ini  dapat dilihat dan dipelajari pada buku-buku numerik yang ada  di perpustakaan dan toko buku.